Пандиагональные квадраты

Пусть N - порядок квадрата

Полумагический квадрат

Для полумагического квадрата число условий равно 2*(N-1) (магическая сумма не фиксирована). Размерность векторного пространства в этом случае получается N*N-2*(N-1)=(N-1)^2+1. Если потребовать, чтобы магическая сумма была равна 0, то в этом случае размерность будет равна (N-1)^2.

Любопытны следующие 2 базиса этого пространства.
1 базис.
   1 0 0 ...-1 0...
   0 0 ...   0 0...
   ................
  -1 0 ...   1 ....
   0 0 ...
   ................
Для любой пары (x,y), где x>0 и y>0
e(x,y)[0,0]=e(x,y)[x,y]=1
e(x,y)[0,y]=e(x,y)[x,0]=-1
остальные элементы равны 0.
Легко доказывается, что это базис.

2 базис
  .............
  ... 1 -1 ....
  ...-1  1 ....
  .............
Таких элементов также (N-1)^2 и также легко доказывается,
что они образуют базис. Этот базис содержит много ортогональных пар.

Пандиагональные квадраты

Для пандиагонального квадрата число условий равно 4*(N-1) (магическая сумма не фиксирована). Размерность векторного пространства в этом случае получается N*N-4*(N-1)=(N-2)^2. Если потребовать, чтобы магическая сумма была равна 0, то в этом случае размерность будет равна (N-2)^2-1.

Здесь интересна конфигурация

e(0,0)
 0  1 -1  0  0 ...
-1  0  0  1  0 ...
 1  0  0 -1  0 ...    
 0 -1  1  0  0 ...
 0  0  0  0  0 ...
 .................
и все ее сдвиги e(x,y) рассматриваемые на торе. Заметим, что
  e(0,y)+e(1,y)+...+e(N-1,y)=0 (нулевая матрица)
  e(x,0)+e(x,1)+...+e(x,N-1)=0
Хотелось бы выделить среди всех этих векторов (матриц) такие, которые будут базисом пространства пандиагональных квадратов. Оказалось, что это возможно и очень просто доказывается с использованием той же идеи, которую мы применили для полумагических квадратов. В чем же заключается эта идея?

Выделим следующие элементы квадрата:

  
 * * * ... * 0     Выделенная область (N-1)x(N-3) отмечена звездочками
 * * * ... * 0
 .............
 0 0 0 0 0 0 0
Допустим на отмеченных местах стоят элементы некоторого пандиагонального квадрата (с нулевой магической суммой). Начиная с левого верхнего угла выделенной области последовательно будем вычислять коэффициенты при векторах

e(-1,0), e(0,0), ... , e(N-2,0), 
...............................
e(-1,N-4), e(0,N-4), ... , e(N-2,N-4) 
таким образом, чтобы сумма всех этих векторов дала на отмеченных позициях нужные нам элементы. Понятно, что это легко делается, т.к. добавление каждой последующей матрицы не изменяет уже обработанные элементы. В результате суммирования (N-1)*(N-3) матриц мы получим пандиагональный квадрат, который должен совпасть с исходным, т.к.
(N-1)*(N-3)=(N-2)^2-1 - рамерность пространства пандиагональных квадратов.

Этот результат дает возможность получения явных формул для вычисления элементов квадрата по заданным определяющим (N-1)*(N-3) элементам, а также заставляет нас обратить особое внимание на конфигурацию


 0  1 -1  0
-1  0  0  1
 1  0  0 -1
 0 -1  1  0
Любопытное следствие
Допустим, мы хотим построить пандиагональный квадрат порядка N=6 из чисел 1,2,...,36. Магическая сумма такого квадрата равна S=3*37, т.е. каждый элемент начального базисного вектора равен 37/2. Для превращения этих "дробных" чисел в целые мы должны будем добавлять следующие элементы базиса с дробными коэффициентами k/2. Но при каждой такой операции будет меняться "дробность" 8 элементов, нам же необходимо изменить "дробность" 36 элементов, что невозможно, т.к. 36 не делится на 8. Аналогичная ситуация, конечно, будет для любых N=4*m+2. Этот факт, в общем-то, хорошо известен, но простых доказательств обычно не приводят.

Увы
Подобное "доказательство" меня самого несколько смущало. Вот контрпример к приведенным рассуждениям:

 + + + + + + + +
     + + + + + + + +
     + + + + + +     + +
Ситуация аналогичная: у 12 элементов изменена "дробность" при помощи 3-х изменений по 8 элементов.

24.04.2011
Прошло много времени - необходимо сделать некоторые пояснения к данному тексту. Работа была продолжена, что привело к появлению статьи "Разностные преобразования магических квадратов", в которой доказана теорема:

Линейное пространство пандиагональных квадратов порядка N > 0 с нулевой магической суммой
имеет размерность:
      (N-1)(N-3)   - при нечетном N и
      (N-2)2       - при четном N
Базис пространства пандиагональных квадратов, действительно, можно составить из приведенной выше конфигурации. По поводу отсутствия пандиагональных квадратов порядка N=4*m+2 - достаточно рассмотреть "решетку L(2)":

 -  *  -  *  -  *
 -  -  -  -  -  -
 -  *  -  *  -  *
 -  -  -  -  -  -
 -  *  -  *  -  *
 -  -  -  -  -  -
Если найти сумму элементов, находящихся на месте звездочек * , то она будет равна 0 при нулевой сумме магического квадрата - это следует из того, что любой элемент базиса дает нулевую сумму на подобной решетке. Дальнейшее просто.

Самым неожиданным результатом проведенного анализа для меня была следующая теорема:
Теорема 5. Любой квадрат можно представить в виде суммы пандиагонального квадрата с нулевой суммой, примитивного квадрата {Ai,j=ai+bj} и диагонального примитивного квадрата {Bi,j=ci-j+di+j}



 
X