Начало

Обширная информация по магическим квадратам имеется у Наталии Макаровой, поэтому данный сайт предназначен в основном для рассмотрения более узких вопросов. С точки зрения теории алгоритмов магические квадраты являются хорошим полигоном для опробования различных эвристик. С точки зрения математики магические квадраты порождают множество очень трудных проблем, которые всегда будут привлекать исследователей.

 
n2 неизвестных a[I,j] в пандиагональном магическом квадрате nxn связаны следующими соотношениями:
     
где  
15.01.2015 Замечание: Диапазон индексов от 0 до n-1
Рекомендую статью "Разностные преобразования магических квадратов"

Всего 4*(n-1) соотношения, т.е. число независимых параметров равно (n - 2)2. Если среди 4*(n-1) ограничительных соотношений имеются линейно зависимые, то независимых параметров будет больше (случай n=2).
Если не требовать пандиагональности, то размерность пространства таких магических квадратов будет ограничена величиной n2-2*n.
Для примера рассмотрим квадраты 4-го порядка. Размерность пространства обычных квадратов равна n2-2*n=8. Действительно, несложно найти ортогональный базис этого пространства:


Для ортогонального базиса координаты любого магического квадрата m можно вычислить по формулам с использованием скалярного произведения: mi=(m,ei)/( ei, ei)
Ниже показаны два знаменитых магических квадрата: A - квадрат Дюрера и B - дьявольский тор


Вычислим координаты этих квадратов в приведенном выше базисе:
(17,1,8,16,2,0,0,0) /2 - координаты квадрата Дюрера,
(17,-1,4,0,0,-6,10,0)/2 - координаты дьявольского тора.
Заметим, что вектора e0, e1, e2, e5, e6 образуют базис подпространства пандиагональных квадратов (почему не 4 вектора, как должно быть по формуле (n - 2)2? - не все ограничительные соотношения оказались независимыми).
Можно привести следующую любопытную таблицу

x1x2x3x4x5 x6x7
1abc d000
2ab0 0fg0
3a00 bfg0
4a00 bf0g
50ab 0fg0
60ab 0f0g
700a bfg0
80ab cdd0
9a0b cd-d0
10ab0 cdd0
11abc 0d-d0

Квадраты с координатами (17,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)/2 будут магическими, если (a,b,c,d) - некоторая перестановка (1,2,4,8) с любой комбинацией знаков. Коэффициенты f=(c+d), g=(c-d). Данная таблица описывает 4!*24*11=4224 квадрата. Естественно, что при этом мы требуем, чтобы в квадрат входили все числа от 1 до 16. Но приключения с квадратами 4 порядка на этом не заканчиваются и приведенная таблица не описывает всех возможных квадратов. Приведем пример:

10 1671
6 41311
3 51214
15 928

Координаты этого квадрата (17,0,-3,-3,8,1,-1,-2)/2 не описываются приведенной выше таблицей.

 
X